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あろめも!

写真とか数学とか登山とか

かんたんなぐん

Gを二つの要素0,1からなる集合とする。
またG上の演算\starが通常の四則演算を用いてa \star b = (a - b)^2と定義されているとする。

つまりGの元の演算は以下のようになる。
0 \star 0 = 0,\quad 0 \star 1 = 1,\quad 1 \star 0 = 1,\quad 1 \star 1 = 0


この集合Gにおいて

  1. 0単位元の性質を満たし、
  2. 各元はそれぞれ自分自身の逆元となる。
  3. 次にx,y,z \in Gとして
    x,y,zのいずれかが0であるとき、(x \star y)\star z = x \star (y \star z)は自明に成立する。

    最後にx = y = z = 1のとき、(1 \star 1) \star 1 = 0 \star 1 = 1,\quad 1\star (1 \star 1) = 1 \star 0 = 1
    よってこの場合についても(x \star y)\star z = x \star (y \star z)結合則は成立する。

  4. ついでにGの任意の元x,yについてx \star y = y \star x、交換則は成立する。

以上から集合Gは位数2で可換な有限群である。




有名な「最も簡単な有限群」の具体例でした。

この他にもG = \{ -1 , 1 ; \times \}とかいろいろ例はあると思うけど
LaTeXの練習も兼ねて書いてみた(というか書きたかっただけ)三└(┐卍^o^)卍ドゥルルル



この演算\starは前回公開したゲーム↓
arswkissing.hateblo.jp
・・・のマス目を押下時に発生する関数にそれっぽいのを使っていて


それぞれのマス目はフラグ変数x_nを持ち
x_n = 0ならばマス目の状態は白色、
x_n = 1ならばマス目の状態は黒色、といったように状態を管理していて、
マス目を押すと f: x_n \to (x_n - 1)^2(= x_n \star 1)とフラグ変数をいじることで色を反転させていました。




今回は2つの状態を巡る関数だったわけだけどこんな感じのフラグ管理法で
次は3つの状態を順に巡る作用を考えてるところ